Mathematik - Längeneinheiten

1. Darstellung didaktischer Entscheidungen und deren Begründung

1.1.Thematische Einordnung

Das Stundenthema gliedert sich im Lehrplan Mathematik der Klasse 3 in den Lernbereich 2, Größen. Dabei geht es um das Kennenlernen der gebräuchlichsten Einheiten der Länge und der Zeit, Einheiten der Masse der Einheit "1l" sowie praktisch bedeutsame Beziehungen zwischen diesen Einheiten. Die Schüler können ihre Kenntnisse beim Umwandeln von Größenangaben, beim Messen und Schätzen sowie beim Sachrechnen anwenden. (siehe Lp Mathematik S. 32) In dieser Stunde und der zugehörigen Stoffeinheit geht es speziell um die Größenart Länge. Insgesamt stehen für diese Stoffeinheit 13 Stunden zur Verfügung. Die ersten 3 Stunden werden für die Wiederholung von Millimeter (mm), Zentimeter (cm) und Meter (m) genutzt. Vielfältige Übungen im Messen und Schätzen von Streckenlängen sowie das Vergleichen und Ordnen von Längenangaben werden als Stoff aus der Klasse 2 wiederholt. Eine besondere Rolle spielt dabei das Schaffen von Größenvorstellung. Ziel der 4. Stunde soll das Umrechnen von diesen Längeneinheiten sein. In der 5. Stunde erfolgt das Kennenlernen und Verwenden der Längeneinheit Dezimeter (dm), welche in der 6. Stunde in Beziehung zu den anderen Längeneinheiten gesetzt werden soll. Die 8. Stunde, welche hier ausführlich dargestellt wird, beschäftigt sich mit der Anwendung von mm, cm und dm. Verschiedene Gegenstände aus der Umwelt werden geschätzt, gemessen und in benachbarte Einheiten umgerechnet. Dabei spielt auch die Komma- schreibweise und das Ordnen von Längenangaben eine Rolle. Die 9. Stunde baut auf diesen Ergebnissen der auf. Es werden Sachsituationen zu den Gegenständen gestellt, welche anhand der Meßergebnissen bewältigt werden sollen. In der 10. Stunde erfolgt das Kennenlernen und Verwenden der Längeneinheit Kilometer (km). In 2 folgenden Übungsstunden wird die gesamte Größenart gefestigt. Den Abschluss dieser Stoffeinheit bildet eine Klassenarbeit.
Im Lehrbuch "Mathemax 3" stehen die Seiten 46 bis 53 und im gleichnamigen Arbeitsheft die Seiten 37 bis 39 zur Verfügung.

1.2. Sachanalyse

Um welche Sache geht es? Was soll der Schüler lernen ?
Der Schüler wendet in dieser Stunde seine Kenntnisse über das Schätzen und Messen von Streckenlängen an konkreten Gegenständen an. Aufgrund der Ergebnisse lässt sich eine Umwandlung der Größen vollziehen. Wichtig ist dabei das sinnvolle Umwandeln. In dieser Stunde soll der Schüler Meßergebnisse finden, die in der nächsten Stunde den Ausschlag für Sachsituationen (Baumarkt, handwerkliche Tätigkeiten zu Hause, ...) geben. So ist das Umwandeln der Längen wichtig für das spätere Rechnen mit diesen Längenangaben. Das Ordnen der Gegenstände nach ihrer Länge soll ebenfalls gefestigt werden. Wichtig sind dabei die verschiedenen Schreibweisen, die die Gegenstände aufweisen. Als Zusatzaufgabe muss die Ordnungsrelation „ist länger als" und „ist kürzer als" benutzt werden, um 2 Gegenstände in Beziehung zu setzen. Da die Auseinandersetzung mit den Gegenständen in Gruppen verläuft, steht auch das soziale Lernen im Vordergrund.

Welche fachwissenschaftlichen Grundlagen sind für den Lerngegenstand bedeutsam?
Bei der Behandlung von Größen sind die Begriffe „Größe", „Größenart", „Größenangabe" und „Einheit" bedeutsam. Bei einer „Größe" spricht man von einer Eigenschaft eines Gegenstandes oder Vorgangs, die man qualitativ charakterisieren und quantitativ bestimmen kann. Es ist das Ergebnis eines Abstraktionsprozesses, bei dem Gegenstände oder Vorgänge hinsichtlich einer Eigenschaft verglichen werden und eine Klasseneinteilung erfolgt. Zu einer Klasse gehören genau die Elemente, die bei Anwendung eines Meßverfahrens das gleiche Ergebnis aufweisen. Man spricht also von einer Äquivalenzrelation („ist so lang wie"). Jede so gebildete Klasse heißt Größe. Bei einer „Größenart" spricht man von der qualitativen Charakterisierung der Eigenschaft, die der Klassenbildung zugrunde gelegt wird, z.B. Länge. Sie ist die Gesamtheit aller möglichen Größen einer ausgewählten Eigenschaft. Größen gleicher Art kann man unter Verwendung von Ordnungsrelationen miteinander vergleichen („ ist länger als"). Eine „Größenangabe" ist die qualitative Bestimmung des Ausprägungsgrades der Eigenschaft, die der Klassenbildung zugrunde gelegt wird. Die Bezeichnung einer Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit, z.B. 12 m, 8 Daumenlängen, ... Diese Größe kann durch unterschiedliche Arten von Größenangaben bezeichnet werden.
- mit einer Einheit ( 65 cm oder 650 mm),
- mit zwei Einheiten ( 6 dm 5 cm),
- in Kommaschreibweise (6,5 dm).
Eine „Einheit" ist eine aus der Menge gleichartiger Größen ausgewählte Größe, die als Vergleichsmaß zur quantitativen Bestimmung dient (Spanne zwischen Daumen und Zeigefinger). Die Basiseinheit der Länge heißt Meter und die abgeleitete Einheit heißt Zentimeter (nach SI ). Weiterhin bedeutsam sind die Begriffe „Messen" und „Schätzen". Dabei erhält man stets Näherungswerte. „Messen" ist das Feststellen, wie oft ein Repräsentant einer als Einheit dienenden Größe in einem Repräsentanten einer anderen Größe gleicher Art enthalten ist. Dabei sollte man über gebrauchsfähige Messinstrumente und Kenntnisse über deren Handhabung besitzen. Das „Schätzen" ist das gedankliche Feststellen, wie oft in einem vorgegebenen Repräsentanten einer Größe ein Repräsentant einer Größe gleicher Art (von dem man möglichst genaue Vorstellung hat) enthalten sein könnte. Hier bilden Größenvorstellungen und Messerfahrungen die Voraussetzung und sollten stets mit dem Nachmessen verbunden werden (Lauter, 1995 und Aufzeichnungen Seminar). Da es sich um eine Anwendungsstunde handelt, sind auch Formen der Festigung von Kenntnissen über Größen bedeutsam. Dazu zählt man nach Lauter: Schaffen von Größenvorstellungen (Übungen zum Einprägen von Festwerten), Übungen im Messen und Schätzen, Systematisierungsübungen mit dem Ziel, sich das System der Einheiten einer Größenart einzuprägen und Vergleichen und Ordnen von Größenangaben (Seminaraufzeichnungen). Auch die allgemeinen Übungsformen im Mathematikunterricht sind für den Lerngegenstand bedeutsam. So nennt Radatz / Schipper folgende Übungsformen:
- Automatisierendes Üben,
- Gestuftes Üben,
- Operatives Üben,
- Üben durch Anwenden und
- Zehn - Minuten - Rechnen.
Auf diese Stunde trifft besonders das Üben durch Anwenden zu. Dabei geht es um das Übertragen des Gelernten auf neue Fragestellungen und Situationen. (Radatz / Schipper (1983). Aber auch das Zehn - Minuten - Rechnen kommt bei der Täglichen Übung zum Einsatz.

Welche Zugänge zum Lerngegenstand lassen sich nutzen und in welchen Schritten kann die Sache erschlossen werden?
Als Einstieg wähle ich eine Tägliche Übung die mit Bewegungsabschnitten den Stoff der letzten Stunden wiederholt. Dabei wird weiter an der Fähigkeit gearbeitet, Längeneinheiten umzurechnen. Ein differenziertes Angebot an Aufgaben soll dabei alle Schüler gleichmäßig fordern und fördern. Über das spezielle Thema „Gegenstände aus dem Werkzeugkasten" wird das erworbene Wissen über Schätzen und Messen sowie Umrechnen in vorrangig benachbarte Einheiten angewandt. Eine Gruppenarbeit als Sozialform kann dabei bei der Lösung der Aufgaben hilfreich sein. Im einzelnen sollen die Schüler die Gegenstände untersuchen (sich mit den von mir gewählten Dingen vertraut machen - Was habe ich in meiner Kiste?) und Schätzergebnisse in eine Tabelle eintragen. Im Anschluss erfolgt ein Messen der Gegenstände, in Zentimeterangabe. Die gewonnenen Ergebnisse sollen danach in die benachbarten Einheiten umgewandelt werden. Wichtig ist hier wieder eine Differenzierung. So ist das Umwandeln der Länge des kleinen Nagels und der Dicke der Mutter von Millimeter in Dezimeter laut Lehrplan nicht gefordert und ist deshalb leistungsstärkeren Schülern vorbehalten (Kennzeichnung durch roten Punkt). Eine Ordnung der Gegenstände dient einer Ausweitung des Übertragens der verschiedenen Längenangaben. Der Schüler soll die Gegenstände der Größe nach aufschreiben (Beginne mit der kleinsten!). Als Zusatzaufgabe für schnell arbeitende Gruppen dient das Aufschreiben der 2 Sätze mit der entsprechenden Ordnungsrelation. Die Ergebniserfassung an der Tafel dient der Kontrolle. Die erworbenen Kenntnisse über die Einheiten mm, cm, dm werden auf spielerische Art am Ende der Stunde in einem Längenbingo angewandt.

Welche Tätigkeiten muss der Schüler ausführen, damit er den Gegenstand richtig erfasst?
Das Erschließen des Lerngegenstandes erfolgt auf der Grundlage des Vorwissens des einzelnen Schülers. Er muss in der Lage sein, die Länge (bei der Mutter die Dicke) realer Gegenstände zu schätzen und das Ergebnis in eine Tabelle zu übertragen. Der richtige Gebrauch des Lineals ist Voraussetzung für das richtige Messen. Die wiederum übertragenen Ergebnisse müssen dann umgewandelt werden, um die Längenangabe auch anders darstellen zu können. Außerdem muss der Schüler die unterschiedlichen Angaben erkennen, um die Längen der Größe nach zu ordnen. Bei Erledigen der Zusatzaufgabe ist der Gebrauch der Ordnungsrelation „ist länger als" für die Formulierung der Sätze notwendig.

Unter welchen Aspekten (Lehrplanaussagen) soll die Sache gesehen werden?
Der Lehrplan verlangt, dass die Schüler am Ende der Klasse 3 die gebräuchlichsten Einheiten der Länge kennen und praktisch bedeutsame Beziehungen zwischen diesen Einheiten herstellen können. Sie besitzen sichere Vorstellungen über die Einheiten der Länge. Die Schüler sind mit der Kommaschreibweise bei Längenangaben vertraut und können ihre Kenntnisse beim Umwandeln von Größenangaben, beim Messen und Schätzen sowie beim Sachrechnen anwenden (Lp Mathematik, 1992, S.32).
Speziell für diese Stunde kommen folgende Lehrplaninhalte zum tragen:
- Verwenden der Längeneinheit mm, cm, dm,
- Umrechnen von Längeneinheiten (in vorrangig benachbarte Einheiten),
- Verwenden der Kommaschreibweise für m / cm (TÜ als Reaktivierung) und

Welche Bedeutung hat die Sache für den Schüler?
In der Umwelt begegnen dem Schüler häufig Zahlen als Maßzahlen in Form von 6 cm 8 cm oder 6,8 cm. Diese Längenangaben muss das Kind verstehen und begreifen lernen. Ein wichtiger Aspekt ist dabei die Größenvorstellung. Nur bei der richtigen Anwendung der Längeneinheiten ist der Schüler in der Lage, Längenangaben in der Umwelt zu verstehen (Lebensverbundenes Thema). Weiterhin stellen Größen (Länge) die Grundlage für den weiterführenden Unterricht. Außerdem haben Längenangaben eine fächerübergreifende Bedeutung. So werden Längenangaben im Werkunterricht, im Sachunterricht, im Sportunterricht oder in der Kunsterziehung benutzt und gebraucht.

Welche fachinternen und fächerübergreifende Zusammenhänge gibt es?
Fachintern ist der Umgang mit Längenangaben im Zusammenhang mit dem Lernbereich Geometrie zu sehen. Das Messen von Längen ist Voraussetzung für das Zeichnen von geometrischen Figuren. Auch der Lernbereich Sachrechnen wird angesprochen, wobei es in dieser Unterrichtsstunde aber nicht um das Rechnen geht, sondern vielmehr um die Sachsituation und das Schaffen der Voraussetzung für die nächste Stunde, in der mit den Mess- ergebnissen Sachsituationen bearbeitet werden sollen. Eine fächerübergreifende Verbindung besteht zum Fach Deutsch, hergestellt durch das Lesen der Aufgaben und das Arbeiten mit Tabellen. Auch das Formulieren der 2 Sätze in der Zusatzaufgabe mit der Ordnungsrelation „ist länger als" gehört ebenso dazu, wie das Aufschreiben der geordneten Gegenstände. Weitere Verbindungen bestehen durch den Sachverhalt (Gegenstände aus dem Werkzeugkasten) zu Werken. Das Anwenden der Längen ist für dieses Fach (Säge das Holz auf 15 cm zurecht!) eine wichtige Bedingung. Ebenso trifft das für den Sportunterricht (erreichte Höhe beim Hochsprung - 95 cm) zu.

Welche Schwierigkeiten kann es für den Schüler bei der Auseinandersetzung mit dem Lerngegenstand geben?
Da der Leistungsstand der Klasse sehr unterschiedlich ist, werden bei schwächeren Schülern Probleme im Umrechnen der Längen entstehen. Deshalb soll in der Gruppenarbeit der leistungsstärkere Schüler hilfreich sein. Schwierigkeiten bestehen auch beim Schätzen der Länge der Gegenstände. Einige Kinder haben noch Probleme, Schätzergebnisse als Näherungswerte anzugeben. So kann ein Ergebnis von 13,4 cm entstehen.

Wie kann der Lerngegenstand durch Unterrichtsmedien dargestellt werden?
Da ich in dieser Stunde die Prinzipien des handlungsorientierten Unterrichts und das Lernen mit Kopf, Herz und Hand verfolge, müssen Gruppenarbeitsmaterialien zusammengestellt werden. Mit diesen Materialien soll sich der Schüler aktiv auseinandersetzen. Benötigt werden für 7 Gruppen mit je 4 Kindern gleiches Material. Um einen Sachbezug herzustellen nutze ich „Dinge aus dem Werkzeugkasten". Eine Vorübung für das Umrechnen bietet die Tägliche Übung. Dabei befinden sich in Filmdosen Aufgabenkärtchen, welche auf der Rückseite die Lösung enthalten. Wichtig wäre, dass Aufgaben verschiedener Schwierigkeit vorhanden sind. Außerdem sollte eine größere Anzahl an Filmdosen bereitstehen, um Wartezeiten vorzubeugen. Kleine Preise (Sticker und Süßigkeiten) gelten der Motivation.

1.3. Bedingungsanalyse

1.3.1. Lernvoraussetzungen der Schüler
1.3.2. Voraussetzungen beim Lehrenden
1.3.3. Organisatorische Bedingungen ...

2.Lernziele der Unterrichtsstunde

Die Schüler

wenden ihre Kenntnisse über die Einheiten der Länge (mm, cm, dm) an Gegenständen aus dem Leben an. Dabei wird das Schätzen, Messen, Umrechnen und die Kommaschreibweise genutzt.

Weitere Lernziele sind:

das Festigen der Fähigkeit im Umrechnen von Längen,
Gegenstände nach ihrer Länge zu vergleichen und zu ordnen,
die Weiterarbeit an der Fähigkeit in einer Gruppe zu arbeiten (soziales Lernen),
das Übertragen von Ergebnissen in eine Tabelle

3. Darstellung des Verlaufs

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4.Begründung des Verlaufs

Was bewegte mich bei der Auswahl der Materialien und was soll damit bewirkt werden?
Zunächst überlegte ich, welche Gegenstände für den Schüler realitätsnah sind. Dinge aus dem Werkzeugkasten kennen die Kinder von zu Hause und aus dem Werkunterricht. Dabei war darauf zu achten, dass es Gegenstände sind, die die unterschiedlichsten Längenangaben aufweisen. So mussten 2 Dezimeterangaben (1,25 dm und 3,5 dm), 2 Zentimeterangaben (8,5 cm und 5 cm) und 2 Millimeterangaben (8 mm und 6 mm) möglich sein. Diese sollen aber alle zuerst in Zentimeter gemessen werden, da es die gebräuchlichste Einheit ist. Daraufhin kann in die benachbarte Einheit umgerechnet werden. Hier lässt sich differenzieren, da die Angabe 0,08 dm und 0,06 dm ungebräuchlich und auch wenig vorstellbar ist. Das Schreiben von 2 Einheiten soll deutlich machen, dass auch eine andere Schreibweise möglich ist. Beim Ordnen der Gegenstände soll erreicht werden, das der Schüler mit den verschiedenen Schreibweisen (u.a. Kommaschreibweise) zurecht kommt und die Stellung des Kommas begreift. Um vorzubeugen, das zügig arbeitende Gruppen sich langweilen, steht eine Zusatzaufgabe bereit, die noch einmal die Relation zwischen den Längenangaben darstellt. Das Schätzen der Gegenstände erweitert die Größenvorstellung. Die Schätzergebnisse werden von einem Schüler einer Gruppe an die Tafel geschrieben. Hier kann ich besser überprüfen, ob Näherungswerte genutzt wurden. Die Ergebnisse des Messens und Umrech- nens werden von mir bei gleichzeitiger Kontrolle aller an die Tafel geschrieben. So entsteht ein Unterrichtsgespräch und es werden gleich die richtigen Ergebnisse an die Tafel geschrieben.
Welche Sozialform eignet sich?
Um der Forderung nach einem Wechsel der Sozialform nachzukommen entschied ich mich für den Gruppenunterricht in dieser Anwendungsstunde. Er bietet gute Möglichkeiten, dass leistungsstärkere Schüler den leistungsschwächeren helfen. Außerdem soll das soziale Lernen verbessert werden.
Wie schaffe ich einen bewegten Beginn und freudvollen Abschluss?
Um auch dieser Forderung nach einem bewegten Unterricht nachzukommen, nutze ich die den Schülern bekannte Filmdosen - TÜ. Dabei wechselt denken und handeln (Bewegung) ab. Auch hier spielt das soziale Miteinander eine wesentliche Rolle. Außerdem soll der Stoff der letzten Stunde wiederholt werden. Der Stundenabschluss soll spielerischen Charakter tragen, um auch diese Forderung an die Grundschule zu erfüllen. Beim Bingo werden nur die Lösungen einer Aufgabe in ein Feld eines 9 - Feldquadrates geschrieben. Sind alle 9 Aufgaben gestellt, wird festgelegt, welche Felder heute gewinnen (Diagonale von links oben nach rechts unten). Diese werden von den Schülern markiert. Jetzt sage ich durcheinander Lösungen an. Die Schüler haben die Aufgabe, die Lösungen in ihrem Feld zu suchen und gegebenenfalls (bei Auffindung) abzuhaken. Wer zuerst an den drei Gewinnfeldern je ein Häkchen hat ruft Bingo. Nach Überprüfung der Ergebnisse steht ein Sieger fest. Es werden die drei ersten Gewinner ermittelt. Zur Motivation stehen kleine Sachpreise zur Verfügung.
Wie kann ich die Schüler individuell fordern und fördern?
Eine Differenzierung wird in der Täglichen Übung erzielt, indem sich der Schüler nach seinem Leistungsstand entsprechend die Aufgaben wählt. Dem Schüler ist diese Form bekannt, sodass ich nicht jedem Schüler sagen muss, für welche Aufgabe er sich entscheiden soll. Auch durch die entsprechende Anzahl, die jeder löst wird eine Differenzierung erreicht. Ebenfalls verlange ich nicht von allen Schülern das Umrechnen von 0,8 cm und 0,6 cm in dm. Diese Form ist ungebräuchlich und abstrakt. Für starke Schüler steht die Aufgabe zur Auswahl. Weiterhin werden die Schüler zur Weiterarbeit aufgefordert, die ihre Aufgaben auf dem Arbeitsblatt erfüllt haben. Es steht eine Zusatzaufgabe bereit.

Literatur

Lauter, Josef: Fundament der Grundschulmathematik. Ludwig Auer GmbH. Donauwörth. 2. Auflage, 1995.
Lauter, Josef: Methodik der Grundschulmathematik. Ludwig Auer GmbH.
Lehrplan Grundschule Mathematik. Klassen 1 - 4. Sächsisches Staatsministerium für Kultus. 1992.
Klingberg, Lothar: Einführung in die Allgemeine Didaktik. Verlag Volk und Wissen Berlin. 1984.
Radatz, Hendrik Schipper, Wilhelm: Handbuch für den Mathematikunterricht an Grundschulen. Schroedel Schulbuchverlag. Hannover. 1983.

Quelle: www.Grundschulhelfer.de.vu